基本概念¶
Abstract
一般的，在一个方程或者方程组中，如果未知量是一个函数(组)，而且该方程中含有此未知函数的导数(组)，则称这种方程为微分方程(组)。 - 如果在微分方程里，出现的未知函数是单个自变量的函数，我们称这一类微分方程为常微分方程 - 如果未知函数有两个或以上的自变量，则称为偏微分方程
阶¶
在微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶
Example
- 一阶微分方程的一般形式为\(F(x,y,\frac{dy}{dx}) = 0\)
- \(F(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\cdots,\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n})=0\)为\(n\)阶方程
- eg. \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{a}\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\)为二阶微分方程
解¶
- 如果\(y = \varphi(x)\)满足\(F(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\cdots,\frac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n})=0\)，则该函数称为ODE的解
- 隐式解：若\(\Phi(x,y) = 0\)决定的\(y = \varphi(x)\),则称\(\Phi(x,y) = 0\)为隐式解
- 通解：如\(y = \varphi(x,c_1,c_2,\cdots,c_n)\)
- 方程的解或积分在\((x, y)\)平面上的图形称为该方程的积分曲线
解的存在性¶
例：\(\frac{dy}{dx} = f(x, y)\)
- 初值条件为：\(y|_{x = x_0} = y_0\)
设\(f(x, y)\)在区域\(D: |x - x_0| \leq a, |y - y_0| \leq b\)内连续，且有对于\(y\)的偏导数,则在区间\(|x - x_0| < h \quad (h = min(a,\frac{b}{M}), M = \max\limits_{(x, y) \in D}|f(x, y)|)\)内存在唯一的\(y = \varphi(x)\)
- 满足初始条件的解称为特解
通解¶
一般的，如果含有一个任意常数\(c\)的函数\(y = \varphi(x, c)\)满足\(\frac{d \varphi(x, c)}{dx} \equiv f(x, \varphi(x, c))\),则称\(\varphi(x, c)\)为通解